Voor nerds staan er een aantal geweldige feestdagen op de kalender. Natuurlijk is er Moldag (23/10) om het getal van Avogadro te herdenken, dat enorm is (in de orde van 1023) en uiterst belangrijk in de natuurkunde. Er is een e Dag (2/7) voor het alomtegenwoordige getal van Euler (e = 2,718…). Maar het beste is Pi-dag, die plaatsvindt op 14 maart omdat de oneindig lange decimale benadering van pi begint met 3,14. Er is zoveel te zeggen over pi – ik schrijf al 14 jaar Pi Day-berichten. (Hier is een gedeeltelijke lijst).
Wat is pi (of zoals de Grieken zouden zeggen: π)? Per definitie is het de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Het is niet duidelijk waarom dat speciaal zou moeten zijn, maar pi verschijnt op een aantal coole plekken die niets met cirkels te maken lijken te hebben. Maar een van de vreemdste dingen aan pi is dat het een irrationeel getal is. Dit betekent dat het een waarde is die niet kan worden uitgedrukt als een fractie van twee gehele getallen. Oh natuurlijk. Het getal 22/7 (22 ÷ 7) is een redelijke benadering, maar het is geen pi.
Maar wacht even. Als we zeggen dat pi irrationeel is, zeggen we eigenlijk alleen maar dat het irrationeel is in het getalsysteem dat we gebruiken, namelijk het grondtal 10-systeem of het decimale systeem. Maar er is niets onvermijdelijks aan dat systeem. Zoals u waarschijnlijk weet, gebruiken computers het grondtal 2 of binaire getalsysteem. In het analoge tijdperk is waarschijnlijk voor Base-10 gekozen omdat we op 10 vingers kunnen rekenen. (Leuk weetje: de Latijnse wortel van figuur is vingerwat ‘vinger’ betekent.)
Kan er dus een getallenstelsel bestaan waarin pi rationeel is? Het antwoord is ja.
Wacht, wat is een nummersysteem?
Laten we eens kijken hoe het nummersysteem werkt. Stel je voor dat je een bonenteller bent in de tijd van de Neanderthalers. Voor elke opeenvolgende boon schrijf je een ander symbool op de muur van je grot. Voor 200 granen heb je 200 symbolen nodig. Het is geestdodend, dus noem je ze ‘cijfers’.
Op een dag ontmoet je een slimme Homo sapiens die zegt: “Je werkt te hard!” Ze hebben een nieuw systeem met slechts 10 symbolen, geschreven als 0 tot en met 9, die elk aantal bonen kunnen vertegenwoordigen. Wanneer je 9 bereikt, ga je gewoon een punt naar links en begin je opnieuw, waarbij elk cijfer nu een veelvoud van 10 is. Daarna is het een veelvoud van 100, enzovoort in steeds hogere machten van 10.
Neem het getal 214: we hebben 2 honderdtallen, 1 tien en 4 eenheden. Wat dit werkelijk betekent kunnen we als volgt opschrijven:
Illustratie door Rhett Allain