De originele versie van dit verhaal verscheen in Quanta-tijdschrift.
Soms proberen wiskundigen een probleem direct aan te pakken, en soms komen ze er zijdelings mee in aanraking. Dit geldt vooral als de wiskundige inzet hoog is, zoals bij de Riemann-hypothese, waarvan de oplossing gepaard gaat met een prijs van $ 1 miljoen van het Clay Institute of Mathematics. Zijn bewijs zou wiskundigen veel diepere zekerheid bieden over de manier waarop de priemgetallen worden verdeeld, terwijl het ook een aantal andere gevolgen impliceert – waardoor het misschien wel de belangrijkste open vraag in de wiskunde is.
Wiskundigen hebben geen idee hoe ze de Riemann-hypothese moeten bewijzen. Maar ze kunnen nog steeds bruikbare resultaten behalen door alleen maar aan te tonen dat het aantal mogelijke uitzonderingen beperkt is. ‘In veel gevallen kan deze net zo goed zijn als de Riemann-hypothese zelf’, zegt James Maynard van de Universiteit van Oxford. “Hieruit kunnen we vergelijkbare resultaten krijgen over priemgetallen.”
In een baanbrekend resultaat dat in mei online werd gepubliceerd, stelden Maynard en Larry Guth van het Massachusetts Institute of Technology een nieuwe limiet vast voor het aantal uitzonderingen van een bepaald type, waarmee ze uiteindelijk een record van meer dan 80 jaar eerder braken. “Het is een sensationeel resultaat”, zegt Henryk Iwaniec van de Rutgers Universiteit. “Het is heel, heel, heel moeilijk. Maar het is een juweeltje.”
Het nieuwe bewijs leidt automatisch tot betere benaderingen van hoeveel priemgetallen er in korte intervallen op de getallenlijn voorkomen, en kan nog veel meer inzichten bieden in hoe priemgetallen zich gedragen.
Voorzichtige zijstap
De Riemann-hypothese is een uitspraak over een centrale formule in de getaltheorie, de Riemann-zetafunctie. De zeta (ζ) functie is een generalisatie van de directe som:
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ⋯.
Deze reeks zal willekeurig groot worden naarmate er steeds meer termen aan worden toegevoegd; wiskundigen zeggen dat deze uiteenloopt. Maar als je het in plaats daarvan zou samenvatten
1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + 1/52 + ⋯ = 1 + 1/4 + 1/9+ 1/16 + 1/25 +⋯
je zou π krijgen2/6, of ongeveer 1,64. Het verrassend krachtige idee van Riemann was om van een reeks als deze een functie te maken, bijvoorbeeld:
ζ(S) = 1 + 1/2S + 1/3S + 1/4S + 1/5S + ⋯.
Dus ζ(1) is oneindig, maar ζ(2) = π2/6.
Dingen worden pas echt interessant als je ze de kans geeft S een complex getal zijn, dat uit twee delen bestaat: het ‘reële’ deel, dat het alledaagse getal is, en het ‘denkbeeldige’ deel, dat het alledaagse getal is, vermenigvuldigd met de vierkantswortel van -1 (of En, zoals wiskundigen het schrijven). Complexe getallen kunnen in een vlak worden geplot, met het reële deel erop X-os en denkbeeldig deel aan j– wesp. Hier is bijvoorbeeld 3 + 4En.
Grafiek: Mark Belan voor Quanta Magazine